pq-Formel und Normalform einer quadratischen Gleichung | sofatutor.com (2024)

pq-Formel – Definition

Die pq-Formel kann an quadratische Gleichungen zur Berechnung der Nullstellen angewendet werden. Eine solche Gleichung muss allerdings zuvor in die Normalform gebracht werden.

pq-Formel – Quadratische Gleichungen

Zunächst wiederholen wir kurz, was quadratische Gleichungen sind.

Eine Gleichung wird als quadratisch bezeichnet, wenn du sie durch Umformungen in dieser Form aufschreiben kannst:

$ax^{2} + bx + c = 0$

Dabei ist $x$ die Unbekannte und $a$, $b$ und $c$ sind Koeffizienten. Gesucht sind die Werte für $x$, für die die linke Seite gerade $0$ wird.

Um diese Werte zu finden, musst du die quadratische Gleichung lösen und das kann manchmal recht aufwendig sein. Mit der pq-Formel gibt es aber eine Methode, die das Lösen wesentlich einfacher macht.

pq-Formel – Herleitung

Du weißt jetzt, wozu du die pq-Formel anwenden kannst. Aber wieso funktioniert das eigentlich? Um diese Frage zu klären, wollen wir uns anschauen, wie man die pq-Formel aus der Normalform für eine beliebige quadratische Gleichung herleiten kann.

Wir schreiben die allgemeine Normalform noch einmal auf:

$x^{2} + px + q = 0$

Wir müssen diese Gleichung jetzt irgendwie nach $x$ auflösen. Da einmal $x^{2}$ und einmal $x$ vorkommt, reicht es nicht, einfach durch die Koeffizienten zu teilen und den Rest auf die andere Seite zu bringen. Am besten wäre es, eine binomische Formel anzuwenden, zum Beispiel diese:

$(a+b)^{2} = a^{2} +2ab + b^{2}$

Dazu müssen wir einen Trick anwenden, und zwar die quadratische Ergänzung. Wir addieren mit null, indem wir einen Wert hinzufügen und gleich wieder abziehen:

$x^{2} + px + q + \underbrace{\left( \frac{p}{2} \right)^{2} - \left( \frac{p}{2} \right)^{2}}_{=0} = 0$

Und was hat uns das jetzt gebracht? Um das erkennen zu können, sortieren wir die Terme um:

$ \underbrace{x^{2} + px + \left( \frac{p}{2} \right)^{2} }_{a^{2} +2ab + b^{2}} - \left( \frac{p}{2} \right)^{2} + q= 0$

Die drei ersten Terme entsprechen zusammen der binomischen Formel mit $a=1$ und $b=\frac{p}{2}$! Wir können sie also in einer Klammer zusammenfassen und dann den Rest auf die rechte Seite bringen:

$\left( x + \frac{p}{2} \right)^{2} - \left( \frac{p}{2} \right)^{2} + q = 0 \quad \big\vert~+ \left( \frac{p}{2} \right)^{2} - q$

$\Rightarrow \left( x + \frac{p}{2} \right)^{2} = \left( \frac{p}{2} \right)^{2} - q $

Jetzt müssen wir nur noch auf beiden Seiten die Wurzel ziehen und $\frac{p}{2}$ auf die rechte Seite bringen:

$ \sqrt{\left( x + \frac{p}{2} \right)^{2}} = \pm \sqrt{\left( \frac{p}{2} \right)^{2} - q}$

$ x + \frac{p}{2} = \pm \sqrt{\left( \frac{p}{2} \right)^{2} - q} \quad \big\vert~-\frac{p}{2}$

$\Rightarrow x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{p}{2} \right)^{2} -q } $

Das ist genau die pq-Formel. Und weil wir in unserer Rechnung die allgemeine Normalform verwendet haben, müssen wir alle diese Umformungen in Zukunft nicht mehr machen. Wir können einfach die entsprechenden Werte einer gegebenen quadratischen Gleichung für $p$ und $q$ in die Formel einsetzen.

pq-Formel – Anwendung

Jetzt können wir die pq-Formel endlich anwenden.Um eine quadratische Gleichung mithilfe der pq-Formel zu lösen, müssen wir nur die gegebenen Werte für $p$ und $q$ einsetzen und die gesuchten Werte für $x$ berechnen.

pq-Formel – Nullstelle

Beim Einsetzen in die pq-Formel und dem anschließenden Ausrechnen gibt es drei Möglichkeiten, die wir als allgemeine Regeln festhalten können:

Wenn der Term unter der Wurzel positiv ist, gibt es genau zwei Lösungen.
Ist er hingegen gleich $0$, gibt es genau eine Lösung, denn es macht keinen Unterschied, ob wir Null addieren oder subtrahieren.
Ist der Term unter der Wurzel negativ, gibt es keine Lösung, denn dann können wir die Wurzel nicht ziehen.
Noch einmal kurz zusammengefasst:

Wie viele Lösungen wir erhalten, verrät uns auch etwas über die Lage des Funktionsgraphen im Koordinatensystem.

pq-Formel und Mitternachtsformel

Vielleicht hast du schon einmal gehört, dass jemand von der Mitternachtsformel für quadratische Gleichungen statt von der pq-Formel gesprochen hat? Beide Formeln funktionieren fast auf dieselbe Weise. Die Mitternachtsformel ist für Gleichungen gedacht, die nicht in der Normalform gegeben sind, sondern in der Form:

$ax^{2} + bx + c = 0$

Sie lautet:

$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Sie liefert natürlich die gleichen Ergebnisse wie die pq-Formel. Setzt man den Koeffizienten $a$ in der Mitternachtsformel gleich $1$, nimmt die Formel genau die Form der pq-Formel an (mit $b=p$ und $c=q$).
Bei einer konkreten quadratischen Gleichung gilt $a = 1$ natürlich nur dann, wenn die Gleichung in der Normalform vorliegt oder in diese gebracht wurde.

Rechnen mit der pq-Formel – Beispiele

Jetzt rechnen wir endlich zwei Beispiele, um das Vorgehen noch klarer zu machen.

pq-Formel – Beispiel 1

Wir haben die folgende Gleichung gegeben:

$x^{2} + 10x + 9 = 0$

Der Koeffizient vor dem $x^{2}$ ist bereits $1$, die Gleichung ist also schon in Normalform und wir müssen sie nicht mehr umformen. Wir können einfach $p$ und $q$ ablesen und einsetzen:

$p = 10 ~ ~ ~ \text{und} ~ ~ ~ q = 9$

$\Downarrow \text{einsetzen}$

$x_{1,2} = -\frac{10}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{10}{2} \right)^{2} -9 } \newline x_{1,2} = -5 \pm \sqrt{(5)^{2} - 9} \newline x_{1,2} = -5 \pm \sqrt{25 - 9} \newline x_{1,2} = -5 \pm \sqrt{16} \newline x_{1,2} = -5 \pm 4$

$\Downarrow \text{Lösungen}$

$x_1 = -5 + 4 = -1$

$x_2 = -5 -4 = -9$

Zur Probe musst du einfach die beiden Werte jeweils in die Ausgangsgleichung einsetzen. Wenn das Ergebnis $0=0$ ist, weißt du, dass du die richtigen Nullstellen gefunden hast. Das ist hier der Fall – prüfe es nach!

pq-Formel – Beispiel 2

Wir haben die folgende Gleichung gegeben:

$2x^{2} + 16x -18 = 0$

Der Koeffizient vor dem $x^{2}$ ist hier $2$. Wir müssen die Gleichung also zuerst in die Normalform bringen, indem wir durch $2$ teilen:

$2x^{2} + 16x -18 = 0 \quad \big\vert~:2 \newlinex^{2} + 8x - 9 = 0$

Jetzt können wir $p$ und $q$ ablesen und einsetzen:

$p = 8 ~ ~ ~ \text{und} ~ ~ ~ q = -9$

$\Downarrow \text{einsetzen}$

$x_{1,2} = -\frac{8}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{8}{2} \right)^{2} -(-9) } \newline x_{1,2} = -4 \pm \sqrt{(4)^{2} + 9} \newline x_{1,2} = -4 \pm \sqrt{16 + 9} \newline x_{1,2} = -4 \pm \sqrt{25} \newline x_{1,2} = -4 \pm 5$

$\Downarrow \text{Lösungen}$

$x_1 = -4 + 5 = 1$

$x_2 = -4 -5 = -9$

Auch diese Lösungen kannst du mithilfe einer Probe überprüfen. Weitere Übungsaufgaben findest du nach der Zusammenfassung.

pq-Formel – Übungen

Löse die folgenden quadratischen Gleichungen mithilfe der pq-Formel. Denk dran, bei der Zuordnung von $p$ und $q$ immer auch die Vorzeichen mitzunehmen!

Häufig gestellte Fragen zum Thema pq-Formel