Lisa von onmathe •Dez. 20, 2023
Du erlernst das Lösen quadratischer Gleichungen mithilfe der pq-Formel anhand einfacher Beispiele. Außerdem bekommst du Übungsaufgaben um das Gelernte zu vertiefen.
1. Beispiel
\[0=x^2+\textcolor{orangered}{9}x+\textcolor{orange}{8}\]
Das ist eine quadratische Gleichung in der Normalform. Die Normalform einer quadratischen Gleichung ist immer gleich aufgebaut:
\[ f(x)=x^2 + \textcolor{orangered}{p}x + \textcolor{orange}{q} \]
Und weil das so ist, können wir aus der Beispielgleichung ganz bequem \(\textcolor{orangered}{p}\) und \(\textcolor{orange}{q}\) herauslesen.
\[\begin{array}{ccc}& x^2 & + \textcolor{orangered}{p}x & + \textcolor{orange}{q} \\& \downarrow & \downarrow & \downarrow \\& x^2 & +\textcolor{orangered}{9}x & + \textcolor{orange}{8} & =0 \\& & \downarrow & \downarrow \\& & \textcolor{orangered}{p=9} & \textcolor{orange}{q=8}\end{array}\]
Jetzt machen wir mit der pq-Formel weiter:
\[x_{1,2}=-\frac{\textcolor{orangered}{p}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\textcolor{orangered}{p}}{2}\right)^2-\textcolor{orange}{q}}\]
Siehst du das \(\textcolor{orangered}{p}\) und das \(\textcolor{orange}{q}\) in der Formel? An diese Stellen setzen wir unsere Werte aus der quadratischen Gleichung ein.
\[\begin{array}{ccc}& x_{1,2}= & -\frac{\textcolor{orangered}{p}}{2} & \pm \begin{array}{cc} \sqrt{ \begin{array}{cc} \left(\frac{\textcolor{orangered}{p}}{2}\right)^2 & - \textcolor{orange}{q}\end{array}} \end{array} \\& & \downarrow & \begin{array}{cc} & & \downarrow & & \downarrow \end{array} \\& & \textcolor{orangered}{p=9} & \begin{array}{cc} & & \textcolor{orangered}{p=9} & \textcolor{orange}{q=8} \end{array} \\& & \downarrow & \begin{array}{cc} & & \downarrow & & \downarrow \end{array} \\& x_{1,2}= & -\frac{\textcolor{orangered}{9}}{2} & \pm \begin{array}{cc} \sqrt{ \begin{array}{cc} \left(\frac{\textcolor{orangered}{9}}{2}\right)^2 & - \textcolor{orange}{8}\end{array}} \end{array} \\\end{array}\]
Nachem wir \(\textcolor{orangered}{p}\) und \(\textcolor{orange}{q}\) eingesetzt haben können wir die Lösung berechnen:
\[\begin{array}{ccc}& x_{1,2}= & -\frac{\textcolor{orangered}{9}}{2} & \pm \begin{array}{cc} \sqrt{ \begin{array}{cc} \left(\frac{\textcolor{orangered}{9}}{2}\right)^2 & - \textcolor{orange}{8}\end{array}} \end{array} \\& & \downarrow & \begin{array}{cc} & & \downarrow & & \downarrow \end{array} \\& x_{1,2}= & -4,5 & \pm \underbrace{ \sqrt{ 20,25 - \textcolor{orange}{8}} } \\& \\& x_{1,2}= & -4,5 & \pm \sqrt{ 12,25 } \\& \\& x_{1,2}= & -4,5 & \textcolor{green}{\pm} 3,5 \\\end{array}\]
Das \(\textcolor{green}{\pm}\) in der Gleichung sagt, dass dueinmal \(\textcolor{green}{+}\) und einmal \(\textcolor{green}{-}\) rechnen musst, um \(x_1\) und \(x_2\) zu bestimmen.
\[\begin{array}{cc}x_1= -4,5 \textcolor{green}{+} 3,5 && x_2= -4,5 \textcolor{green}{-} 3,5 \\\end{array}\]
\(x_1= -1\)
\(x_2= -8\)
Achtung: Denke daran, dass du beim Ausdruck \(\left(\frac{p}{2}\right)^2\) die Klammer setzt. Auch beim Tippen in den Taschenrechner!
2. Beispiel
\[x^2 \textcolor{orangered}{-2}x\textcolor{orange}{-8} =0\]
In dieser Gleichung haben sowohl \(\textcolor{orangered}{p}\) als auch \(\textcolor{orange}{q}\) ein Minus vor sich. Das ist wichtig, wenn wir \(\textcolor{orangered}{p}\) und \(\textcolor{orange}{q}\) ablesen.
\[\begin{array}{ccc}& x^2 & + \textcolor{orangered}{p}x & + \textcolor{orange}{q} \\& \downarrow & \downarrow & \downarrow \\& x^2 & \textcolor{orangered}{-2}x & \textcolor{orange}{-8} & =0\\& & \downarrow & \downarrow \\& & \textcolor{orangered}{p=-2} & \textcolor{orange}{q=-8}\end{array}\]
Wichtig: die Vorzeichen vor \(\textcolor{orangered}{p}\) und \(\textcolor{orange}{q}\) musst du beim Ablesen immer mitnehmen!
Nun setzen wir die Werte wieder in die pq-Formel ein, um die Lösung zu berechnen.
\[\begin{array}{ccc}& x_{1,2}= & -\frac{\textcolor{orangered}{p}}{2} & \pm \begin{array}{cc} \sqrt{ \begin{array}{cc} \left(\frac{\textcolor{orangered}{p}}{2}\right)^2 & - \textcolor{orange}{q}\end{array}} \end{array} \\& & \downarrow & \begin{array}{cc} & & \downarrow & & \downarrow \end{array} \\& & \textcolor{orangered}{p=-2} & \begin{array}{cc} & & \textcolor{orangered}{p=-2} & \textcolor{orange}{q=-8} \end{array} \\& & \downarrow & \begin{array}{cc} & & \downarrow & & \downarrow \end{array} \\& x_{1,2}= & -\frac{\textcolor{orangered}{(-2)}}{2} & \pm \begin{array}{cc} \sqrt{ \begin{array}{cc} \left(\frac{\textcolor{orangered}{(-2)}}{2}\right)^2 & - \textcolor{orange}{(-8)}\end{array}} \end{array} \\\end{array}\]
Hier musst du besonders darauf achten alle negativen Zahlen in Klammern zu setzen.
\[\begin{array}{ccc}& x_{1,2}= & -\frac{\textcolor{orangered}{(-2)}}{2} & \pm \begin{array}{cc} \sqrt{ \begin{array}{cc} \left(\frac{\textcolor{orangered}{(-2)}}{2}\right)^2 & - \textcolor{orange}{(-8)}\end{array}} \end{array} \\& & \downarrow & \begin{array}{cc} & & \downarrow & & \downarrow \end{array} \\& x_{1,2}= & 1 & \pm \underbrace{ \sqrt{ 1 + \textcolor{orange}{8}} } \\& \\& x_{1,2}= & 1 & \pm \sqrt{ 9 } \\& \\& x_{1,2}= & 1 & \pm 3 \\\end{array}\]
Jetzt wieder einmal \(\textcolor{green}{+}\) und einmal \(\textcolor{green}{-}\) rechnen um \(x_1\) und \(x_2\) zu bestimmen.
\[\begin{array}{cc}x_1= 1 \textcolor{green}{+} 3 &&& x_2= 1 \textcolor{green}{-} 3 \\\end{array}\]
\(x_1= 4\)
\(x_2= -2\)
3. Beispiel
\[\textcolor{midnightblue}{4}x^2+80x-176=0\]
In dieser quadratischen Gleichung steht vor dem \(x^2\) der Faktor 4. Um \(\textcolor{orangered}{p}\) und \(\textcolor{orange}{q}\) ablesen zu können muss das \(x^2\) immer alleine stehen. Das erreichst du, indem du die ganze Gleichung durch den Faktor dividierst:
\[\begin{array}{cccc}\textcolor{midnightblue}{4}x^2 & +80x & -176 & =0 & \hspace{3mm} |:\textcolor{midnightblue}{4} \\\\\downarrow :4 & \downarrow :4 & \downarrow :4 & \downarrow :4\\\\x^2 & +20x & -44 & =0\end{array}\]
Es ist ganz wichtig, dass du jeden einzelnen Summanden durch 4 dividierst. Die Pfeile unter jedem Summanden in der Rechnung verdeutlichen das.
Nun ist die Gleichung in der Normalform und du kannst \(\textcolor{orangered}{p}\) und \(\textcolor{orange}{q}\) ablesen.
\[\begin{array}{ccc}x^2 & \textcolor{orangered}{+20}x & \textcolor{orange}{-44} & =0 \\& \downarrow & \downarrow & \\& \textcolor{orangered}{p=20} & \textcolor{orange}{q=-44}\end{array}\]
An dieser Stelle setzen wir wieder in die pq-Formel ein um die Lösung der Gleichung zu berechnen. Denk dabei an alle Klammern und daran, dass du am Ende \(+\) und \(-\) getrennt betrachtest.
\[\begin{array}{ccc}x_{1,2}= & -\frac{\textcolor{orangered}{p}}{2} & \pm \begin{array}{cc} \sqrt{ \begin{array}{cc} \left(\frac{\textcolor{orangered}{p}}{2}\right)^2 & - \textcolor{orange}{q}\end{array}} \end{array} \\& \downarrow & \begin{array}{cc} & & \downarrow & & \downarrow \end{array} \\& \textcolor{orangered}{p=20} & \begin{array}{cc} & & \textcolor{orangered}{p=20} & \textcolor{orange}{q=-44} \end{array} \\& \downarrow & \begin{array}{cc} & & \downarrow & & \downarrow \end{array} \\x_{1,2}= & -\frac{\textcolor{orangered}{20}}{2} & \pm \begin{array}{cc} \sqrt{ \begin{array}{cc} \left(\frac{\textcolor{orangered}{20}}{2}\right)^2 & - \textcolor{orange}{(-44)}\end{array}} \end{array} \\& \downarrow & \begin{array}{cc} & & \downarrow & & \downarrow \end{array} \\x_{1,2}= & -10 & \pm \underbrace{ \sqrt{ 100 + \textcolor{orange}{44}} } \\& \\x_{1,2}= & -10 & \pm \sqrt{ 144 } \\& \\x_{1,2}= & -10 & \pm 12 \\\\x_1= -10 \textcolor{green}{+} 12 && x_2= -10 \textcolor{green}{-} 12 \\\end{array}\]
\(x_1= 2\)
\(x_2= -22\)
Du hast jetzt in 3 Beispielen gelernt die pq-Formel richtig anzuwenden:
- \(\textcolor{orangered}{p}\) und \(\textcolor{orange}{q}\) müssen an der Normalform abgelesen werden.
- Steht vor dem \(x^2\) ein Faktor musst du zunächst die ganze Gleichung durch diesen Faktor dividieren
- Achte beim Einsetzen darauf, dass du alle negativen Zahlen in Klammern gesetzt hast.
- Vergiss nicht die Klammer beim Ausdruck \(\left(\frac{p}{2}\right)^2\)
- Auch beim Tippen in den Taschenrechner sind die Klammern sehr wichtig.
Besonderheiten in der Rechnung
Hier zeigen wir dir noch 2 Besonderheiten, die beim Rechnen mit der pq-Formel auftreten können. Da du dazu inzwischen schon einiges weißt, werden wir es ein wenig kürzer halten.
1. Besonderheit
\[x^2\textcolor{orangered}{-12}x\textcolor{orange}{+36}=0 \]\[\textcolor{orangered}{p=-12} \quad \textcolor{orange}{q=36}\]
\[\begin{array}{ccc}x_{1,2}= & -\frac{\textcolor{orangered}{(-12)}}{2} & \pm \begin{array}{cc} \sqrt{ \begin{array}{cc} \left(\frac{\textcolor{orangered}{(-12)}}{2}\right)^2 & - \textcolor{orange}{(36)}\end{array}} \end{array} \\& \downarrow & \begin{array}{cc} & & \downarrow & & \downarrow \end{array} \\x_{1,2}= & 6 & \pm \underbrace{ \sqrt{ 36 - \textcolor{orange}{36}} } \\& \\x_{1,2}= & 6 & \pm \sqrt{ 0 } \\& & \downarrow \\x_{1,2}= & 6 & \text{fällt weg}\end{array}\]
\[x=6\]
Ergibt die Rechnung unter der Wurzel 0, so hat die quadratische Gleichung nur eine Lösung.
2. Besonderheit
\[x^2\textcolor{orangered}+{2}x\textcolor{orange}{+4}=0 \]\[\textcolor{orangered}{p=2} \quad \textcolor{orange}{q=4}\]
\[\begin{array}{ccc}x_{1,2}= & -\frac{\textcolor{orangered}{2}}{2} & \pm \begin{array}{cc} \sqrt{ \begin{array}{cc} \left(\frac{\textcolor{orangered}{2}}{2}\right)^2 & - \textcolor{orange}{(4)}\end{array}} \end{array} \\& \downarrow & \begin{array}{cc} & & \downarrow & & \downarrow \end{array} \\x_{1,2}= & -1 & \pm \underbrace{ \sqrt{ 1 - \textcolor{orange}{4}} } \\& \\x_{1,2}= & -1 & \pm \sqrt{ -3 } \\& & \downarrow \\x_{1,2}= & -1 & \text{nicht lösbar}\end{array}\]
\[\text{keine Lösung}\]
Ergibt die Rechnung unter der Wurzel eine negative Zahl, so hat die quadratische Gleichung keine Lösung. Es ist nicht möglich, die Wurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen.
Zusatzwissen: den Teil der Rechnung, der unter der Wurzel stattfindet nennt man Diskriminante. Die Diskriminante ist entscheident für die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung.
