Mit der p/q-Formel quadratische Gleichungen lösen - bettermarks (2024)

Lösungsformel für eine quadratische Gleichung in Normalform$x^2+px+q=0$

pq-Formel:$x_{\text{1/2}}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q}$

Die pq-Formel entsteht aus der$\text{Normalform}$einer quadratischen Gleichung$x^2+px+q=0$durch$\text{quadratische Ergänzung}$.

für${\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q$ $>$ $0$:

$L=\left\{-\frac{p}{2}+\sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q};-\frac{p}{2}-\sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q}\right\}$

Lösungsformel für eine quadratische Gleichung in Normalform$x^2+px+q=0$

pq-Formel:$x_{\text{1/2}}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q}$

Betrachtest du die Diskriminante D der$\text{pq-Formel}$, kannst du angeben, wie viele Lösungen eine$\text{quadratische Gleichung}$hat.

Ist D > 0, hat die Gleichung zwei Lösungen.

Francois Viète (lat. Vieta) entdeckte den Zusammenhang zwischen p und q und den Lösungen$x_1$und$x_2$der quadratischen Gleichung$x^2+px+q=0$:

$-p=x_1+x_2$$q=x_1·x_2$

Du kannst mit dem Satz von Vieta überprüfen, ob zwei Werte Lösungen einer gegebenen quadratischen Gleichung sind. ($\text{Probe}$)

Für eine quadratische Gleichung in Normalform ($x^2+px+q=0$) gilt der Satz von Vieta:

$-p=x_1+x_2$und$q=x_1·x_2$.

Den$\text{Satz von Vieta}$kannst du aus der$\text{faktorisierten Form}$$\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)=0$herleiten.

Wenn$x_1$und$x_2$die Lösungen der$\text{quadratischen Gleichung}$$x^2+px+q=0$sind, dann gilt: